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微分方程受迫振动（微分方程受迫振动）

来源：责编：时间：2024-05-20 08:48:51 376观看

导读如果在弹簧振子上再加一个外力，运动方程就是：这是一个非齐次方程，也就是说它的右边是有东西的。非齐次方程的困难之处就在于，没有一用通用的方法来猜解，需要根据方程右边的东西看着办。通过物理实验我们已经

如果在弹簧振子上再加一个外力，运动方程就是：

微分方程受迫振动（微分方程受迫振动）(1)

这是一个非齐次方程，也就是说它的右边是有东西的。非齐次方程的困难之处就在于，没有一用通用的方法来猜解，需要根据方程右边的东西看着办。

通过物理实验我们已经知道，受迫振动的频率与外力相同，那么可以猜x=Asin ωt Bcos ωt，A，B都是实常量。代入方程得到：

微分方程受迫振动（微分方程受迫振动）(2)

解得：

微分方程受迫振动（微分方程受迫振动）(3)

微分方程受迫振动（微分方程受迫振动）(4)

微分方程受迫振动（微分方程受迫振动）(5)

根号里是ω的二次函数，ω略小于时，振幅最大。相位的变化比较复杂，有 (mei) 兴 (shi) 趣 (gan)的同学可以画个图。

但是！我们怎么把常量A和B解出来了？这里的A和B并不是待定常量，我们解出的只是一个特解，而不是通解。但是我们发现，如果是非齐次方程的解，而是对应的齐次方程的解，那么是这个非齐次方程的解。

所以把阻尼振动的通解加上去就是受迫振动的通解。阻尼振动的解会指数衰减，所以经过足够长的时间之后就只剩下受迫振动的特解。

【练习】解方程：

微分方程受迫振动（微分方程受迫振动）(6)

想一想应该猜什么样的解。

解方程：

微分方程受迫振动（微分方程受迫振动）(7)

真的要从头开始解一遍吗？

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